Matriz Antisimétrica

Es una matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta; es decir, si cumple que

At = −A.

Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación A^T = -A.

Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{array}}\right]}$

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y ${\displaystyle a_{ji}=-a_{ij}}$ para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, ${\displaystyle a_{ii}=0}$ para todo i. Por lo tanto, la matriz Aasume la forma:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\-a_{12}&0&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&0&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\cdots &0\\\end{array}}\right]}$

En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qué?), y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.

EJEMPLO:

La matriz

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}{0}&{-2}&{4}\\{2}&{0}&{2}\\{-4}&{-2}&{0}\\\end{array}}\right]}$

es antisimétrica, ya que

${\displaystyle A^{T}=\left[{\begin{array}{rrr}{0}&{2}&{-4}\\{-2}&{0}&{-2}\\{4}&{2}&{0}\\\end{array}}\right]=-A}$

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.

Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre será 0