Rango de una Matriz

A continuación veremos cómo asignar a una matriz un parámetro llamado rango.

El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introducirá de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.

Baste saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes.

Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el método de Gauss.

Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros posible, que esté en forma escalonada), realizando operaciones elementales en filas.

Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rang(A) al número de filas no nulas de la matriz tras aplicarle el método de Gauss.

Rango de una matriz escalonada

El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulas de A. Lo denotamos por rang(A)

Rango de una matriz cualquiera

Nos preguntamos ahora cómo podemos definir el rango de una matriz cualquiera.

Vimos que mediante transformaciones elementales podemos transformar cualquier matriz en otra equivalente que sea escalonada.

El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada equivalente a A.

Así que para obtener el rango de una matriz la transformamos en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales (Las transformaciones elementales no modifican el rango).

El rango de la matriz será el número de filas no nulas de la matriz escalonada.

Se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su número de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el método de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en columnas.

Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qué valores va a estar ese rango.